算数・数学ゼミ　『奇数と偶数』
2009年5月22日


ゼロは偶数なのか？

 　今年度、ヨハネ研究の森では、英語ゼミと平行して算数・数学ゼミや理科実験ゼミ、宗教学ゼミが行われます。それに伴い今回、学習状況を確認するための学力・学習状況調査を実施。そこで出された問題をめぐって、生徒の間で早くも議論が始まったようです。

大下Ｔ　「今日は5月18日の月曜日に行われた算数、数学のテストで出題された問題について考えてみたいと思います。今後、ヨハネでは数学ゼミが始まります。もちろんヨハネのゼミは、ただ主任研究員が君たちに教え込むというようなことにはならないとは思います。しかしゼミをスタートさせる前に、君たちの学習の進み具合や状態を確認する必要がありました。そのために今回、テストを実施しました。うわさによると、男子寮ではある数学の問題について議論をしたと聞きました。その問題と議論内容について説明してくれる人いますか。」
小西　「はい。｛次の数の中から偶数をすべて選びなさい。 ０、１、３５、７８、１００｝というものです。この数字のなかで７８と１００は偶数ということがわかるのですが、０は偶数なのかそれとも奇数なのかそれともどちらにも属さないのかということについて議論が盛り上がりました。
　偶数は２で割ったときに余りがでない数と僕は思っていました。そのように考えると０も確かに２で割って余りはでないので偶数ということになります。しかし本当にそれが正しいのかということで議論になりました。広辞苑や教科書で偶数の定義を調べたのですが、それぞれ言い方が違っていて、ゼロを偶数に含める場合と含めない場合があるようでした。」


「偶数」のイメージ

 鈴木Ｔ　「なるほど。偶数についてみんなはどのようなイメージを持っているのか聞いてみたいですね。広辞苑にこう書いてあるからとかではなく自分なりのイメージを聞かせて欲しい。例えば私はある食べ物を２人で分けるときにケンカにならない数として偶数をとらえていたように思います。長谷さんや中内くんはどのように偶数をとらえていますか」
中内　「鈴木先生と似ているかもしれませんが、私は偶数を奇数と比べて安心できる数としてとらえています」
長谷　「私は偶数を２の倍数としてとらえています。０はそもそも数のなかに含めていいのか疑問だとも思っています」
丸木　「小西君の話では、偶数は２で割ってあまりのでない整数ということですが、僕は０÷２＝０ということ自体がいまだに納得できないのですが」
大下Ｔ　「そうですね。私は以前、０÷２＝０を次のように説明したことがあります。私のポケットに入っているお金をきみたちで分けていいよ。でもポケットの中は空だよ、と。どうですか？」
保科Ｔ　「０を理解するうえでも、そもそも数の発見の順序がどのようになっていたのかを整理する必要があるのではないか。歴史的には１、２などの自然数がはじめに使われるようになり、その後にマイナスや０が使われるようになったということのようですが・・。」
鈴木Ｔ　「私は山形育ちなので、温度計をみてマイナスというものを生活の中で実感していました。学校では保科先生が言ったように自然数を先に習いその後、整数を習いますが、私は生活の経験上、整数とか自然数とかに関係なくマイナスという概念を知っていたため、はじめて整数を習ったときに、あらためて自然数の存在というものをを認識した記憶があります」
仙里　「鈴木先生の話は、学校では整数より先に自然数を習うということだと思います。確かに５−２＝３というのを小学校で習います。しかしこれにはすでに自然数以外のマイナスの数字もでてきているように思うのですがいかがでしょうか？」
大下Ｔ　「つまり、５−２は実は５＋（−２）なんだから小学校でもマイナスの数を含めた整数を扱っている。これが鈴木仙里くんの意見ですね。これはおもしろいですね」


自分の頭で考える

 大下Ｔ　「それでは一旦話を元に戻して、偶数についてみんなは、どのようなとらえ方をしていますか」
小俣　「０が偶数かどうかということですが、数直線を考えると１、２、３…は、奇数である１から始まり、奇数、偶数、奇数、偶数…と交互になっているので１より１小さい０は数直線上、偶数でないと都合が悪いのではないですか？」
大下Ｔ　「なかなかセンスのいい、おもしろい説明だと思います。」
簡　「言葉で考えると偶数の「偶」には対になるという意味があるようです。また奇数には奇妙という意味が含まれているような気がします」
大下Ｔ　「簡君はことばから偶数や奇数を理解したということですね。例えばピザを４人で分けるのは簡単ですが、５人で分けるとなると、とたんに難しくなりますね。そのようなことからも奇数が奇妙という簡君の意見は理解できるような気がします」
大下Ｔ　「数の中には今まで話題にした整数だけでなく、分数というものもあります。分数についてみなさんはどのような意味づけをしていますか」
西山　「僕は分数と言うと、ケーキを連想します。分割してできたケーキの個数を分母、もらった個数を分子として意味づけしているように思います」
大下Ｔ　「僕も昔はケーキやピザを分割することから分数をとらえていましたが、分数や小数と比較するとうまくいかなくなり、ひもで考えるようになりました。それだと比較がしやすいように思います」
鈴木Ｔ　「それでは、２分の１と１０分の３とではどちらが大きいでしょうか。誰にでもわかるように説明してください。大下先生」
大下Ｔ　「やはり、ケーキを使っての説明になってしまいますね。２分の１は１０分の５だから１０分の３より大きい。やはり、この説明だと何人かの子は納得しませんよね。分母分子に同じ数をかけていいなどの知識を使わずに説明するとなると、難しくなりますね。」
鈴木Ｔ　「知識としての数学と本来の数学とは違うと思います。今後始まる数学ゼミで、数学とは何かというとこから学んでいって欲しいと思います」
大下Ｔ　「今日のセッションからもわかるように、数について、みんなはさまざまなとらえ方をしているようです。自分はどのように自然数や整数や分数を意味づけしているのか、自分たちはいつそれらを習い覚えたのか、またそれらはどのような考え方からうまれ、そして歴史上どのように登場してくるのか、そういったことを追究するのがヨハネの学びだと思います。みんなもこれをきっかけに自分なりに、これらのことについて決着をつけて欲しいと思います」
鈴木Ｔ　「昼休みにぜひ挑戦してほしい問題を出します。厚さ０．１ｍｍの新聞紙を１回折りたたむと０．２ｍｍになります。それでは５０回折りたたむと厚さはどれぐらいになるでしょうか？ 椅子の高さぐらい？ 机の高さくらい？ それとも富士山ぐらい？ あるいは・・・？ 『見当をつける』、そのために自分の頭を使って考える。そういう思考の積み重ねが脳味噌を鍛えるのです」